【用数学讲哲学】0!=纯有，1!=定在，-1!=辩证唯物主义的物质
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论缺席的形而上学：零和负一阶乘的哲学解读
摘要
本文从数学中阶乘的概念出发，探讨其在组合学上的意义（即事物的排列方式数量），并进一步深入到哲学和本体论层面的解读。特别关注零的阶乘（0! = 1）和负一的阶乘（-1!），这两个在数学上或作为约定或作为非法运算的特殊情况。通过将排列方式的数量与本体论版本关联，将事物的数量与本体性力量的可计数单元关联，本文分析了0! = 1所蕴含的关于空无状态的秩序化、以及本体论的可计数性预设。进而，本文着重探讨了-1! 的哲学意义，将其解读为一种根本性的缺失或债负，这种缺失不仅指向客体的缺场，更可能指向排列场域或秩序生成之场本身的缺席。通过区分现实排列（1!）、空无的秩序（0!）和不可能的排列（-1!），本文认为，数学公式中将0!和1!都计为1，掩盖了存在与缺席之间的本体论差异，构成了一种理论上的“暴力”。而-1!的不可确定性或无限性，则突显了实践高于理论、以及潜在性或多重性先于确定秩序的可能性。文章最终指向一种立场：真正的哲学起点或许应从这种根本的“缺失”或不可确定性（如-1!所象征）出发，而非从已被预设为一、可被计数和理论把握的纯有或定在。
关键词： 阶乘；零阶乘；负一阶乘；本体论；组合学；缺失；实践；可计数性
引言
在基础数学中，阶乘（factorial）是一个基本的概念，记作 $n!$，定义为从1到 $n$ 的所有正整数的乘积。例如，$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$。阶乘在组合学中具有重要的意义，它表示从 $n$ 个不同元素中取出 $n$ 个元素进行全排列的方案数量。然而，当我们将阶乘的概念扩展到非正整数时，就会遇到一些特殊情况，尤其是在 $n=0$ 和 $n<0$ 的情况。数学上约定 $0! = 1$，而负整数的阶乘通常被认为是未定义的，或者在某些推广（如Gamma函数）中呈现出特定的性质。
这种数学上的约定和“非法性”并非仅仅是计算规则的末端，它们为我们提供了深入思考事物、秩序、存在与缺席之间关系的哲学契机。本文旨在超越纯粹的数学计算，从组合学所蕴含的排列和秩序的哲学意味出发，探讨0! = 1这一约定和-1!的不可定义性（或无限性）所揭示的本体论、认识论和逻辑学层面的深层问题。
一、阶乘作为排列与本体论的关联
阶乘作为 $n$ 个不同事物的全排列数量，直接关联到事物如何得以组织和呈现其多样性。如果我们将“事物的排列方式的个数”视为一种“本体论版本”的可能性数量，而“事物的个数”视为构成该本体论版本的“本体性力量”或“可计数单元”，那么阶乘的概念便具备了显著的哲学意味。
例如，1的阶乘，$1! = 1$，表示一个事物只有一种排列方式（它自己）。2的阶乘，$2! = 2 \times 1 = 2$，表示两个事物有两种排列方式（AB和BA）。这似乎直观地连接了事物的数量与可能存在的秩序或结构的数量。
然而，这种关联方式并非没有其预设和潜在的问题。它暗含了一个重要的前提：本体性的力量或构成世界的最终单元是“可计数”的。正如某些当代哲学（如巴迪欧的本体论）所指出的，世界的原初发生或本体论基础可能并非是可数的或可被技术化的单元构成。如果本体性的力量是不可数的，那么将排列方式简单地理解为可数单元的排列，就可能是一种过度简化或误导。我们将在后续讨论中回到这一批判。
二、零的阶乘（0! = 1）：空无的秩序化
0的阶乘在数学上被定义为1 ($0! = 1$)。这一约定可以通过多种方式理解：
- 组合学解释： 0个元素的集合只有一个排列方式，即空排列。这个空排列被视为一种有效的排列方式，其数量为1。
- 递归定义扩展： 基于递归关系 $n! = n \times (n-1)!$，我们可以推导出 $0!$。令 $n=1$，则 $1! = 1 \times 0!$。由于 $1! = 1$，因此 $1 = 1 \times 0!$，从而得出 $0! = 1$。这意味着，从1!退回到0!，需要除以1，即 $0! = 1! / 1 = 1/1 = 1$。
从哲学角度看，0! = 1 表示“无”或“空集”竟然产生了一个“秩序”或“状态”，其数量为1。这并非指对事物进行了排列，而是指“没有东西被排列”本身构成了一种特定的、唯一的“状态”或“局面”。这个“空台面”本身，虽然空无一物，却被计数为一种秩序存在的状态。这与逻辑学中对空集的处理方式有相似之处：空集是唯一的，且是任何集合的子集。空无在这里并非彻底的虚无，而是被赋予了一种确定的、可被技术化（记为1）的存在状态。
这可以被理解为一种本体论上的“空无状态”被编码为一个确定的“一”。场域中本是空无，但“场域的空无性本身”被视作一种状态，并被标记为“一”。在某种意义上，这可以与黑格尔逻辑学中的“纯有”（Pure Being）相类比。纯有是完全不确定的，没有任何规定性，但恰恰因为其绝对的不确定性，它又等同于无。然而，当纯有被思辩地把握为一个“开端”或一个“是”的时候，它就获得了某种最低限度的规定性，可以在某种意义上被记作“一”，迈向“定在”（Dasein）。0! = 1 正是这种“空无”被标记为“一”的数学体现，一个没有内容的场域被赋予了形式上的单一性。
三、负一的阶乘（-1!）：缺失、债负与不可能的排列
负整数的阶乘在标准的定义下是未定义的。使用递归公式 $n! = (n+1)! / (n+1)$，我们可以尝试计算负一的阶乘：
$(-1)! = ((-1)+1)! / ((-1)+1) = 0! / 0 = 1 / 0$。
在数学上，除以零是非法的，1/0 通常被认为是无穷大 ($\infty$) 或未定义。这个结果从纯粹的数学计算角度构成了障碍，但在哲学解释中却提供了更丰富的线索。
从组合学的角度看，负一的事物是不可想象的。如何排列“-1”个东西？这似乎意味着一种根本性的缺失，一种比“没有东西”（0个事物）更深层次的“没有”。我们可以将这种“-1”理解为一种“债负”或“需要”，即“我缺少一个东西，需要一个东西才能进行排列”。
当我们将-1!的结果是1/0（无穷大或未定义）与这种哲学含义结合时，可以做出以下解读：
- 排列场域的缺失与无限可能： 如果-1 不仅指事物的缺失，更指向那个能够容纳事物、生成秩序的“场域”或“位面”本身的缺失，那么问其排列方式有多少种，其答案可能是无限的。这意味着构成秩序或显现排列方式的那个基础本身是不确定、不确定或充满无限可能性的，直到某种东西出现并将其固定。这种不可数或无限性结果，可以与本体论起源的不可计数性观点相呼应。
- 实践优先性： -1! 意味着“我缺一个东西，需要这个东西来排列”。我们无法预先知道这个缺失的东西有多少种排列方式，恰恰是因为这个东西不在场，其排列方式必须通过“实践”——即真正找到或制造这个东西并尝试去排列——才能得知。理论计算（如1/0）在这里失效，它指向了理论的界限，揭示了实践在确定秩序（或其可能性）中的优先地位。确定一个缺失对象的排列方式，需要先让它存在并对其进行操作，而非仅凭符号运算。
四、0!、1!和-1!的差异与遮蔽
现在，让我们对比0! = 1和1! = 1。数学上它们相等，都等于1。1! = 1表示有一个硬币，其排列方式只有一种（放在那里）。0! = 1表示没有硬币，但“空无”的状态被记为一种唯一的秩序。
这里的关键在于，数学上的等同性 $1! = 0! = 1$ 遮蔽了两种状态的根本性差异：一个有内容，一个没有内容。这种遮蔽或等同，可以被视为一种概念上的“暴力”，它将“事物的存在单位性”（只有一个东西）与“排列方式的单位性”（只有一种排列方式）粗暴地等同起来。1! = 1 的表面平静之下，隐藏着一个事实：那个“一个东西”之所以只有“一种排列方式”，并非通过实际操作或逻辑推导得出，而更像是一种本体论的暴力——只要存在一个东西，它的排列方式就被强制规定为“一”。这是本体的同一性（只有一个东西）与本体论形式（秩序）的同一性（只有一种排法）的混淆。
与此不同，-1! 挑战了这种混淆。它不像1!那样有一个貌似可以排列的实体（尽管实际未进行排列），也不像0!那样有一个虽然空无但可以被记为一个状态的场域。-1! 意味着连构成排列所需的“东西”都是缺失的，甚至连能够计数和确定秩序的“场域”本身都可能是缺失或待定的。因此，不能简单地因为0! = 1（空无状态记为1）或1! = 1（一个东西的排列记为1，尽管是“假”排列）就断定-1!也应该等于1。-1! 代表的是一种“不可能排列”的状态，这种不可能性与0!或1!的“假性排列”或“既定状态”有着本质区别。用一种假定的秩序（1!的“放在那”）或空无的秩序（0!的“空状态”）去规定一种根本缺失的、需要通过实践才能确定的对象（-1!所指代的）的秩序可能性，是逻辑上站不住脚的。
五、哲学启示与结论
从对零和负一阶乘的哲学解读中，我们可以得出一些重要的启示：
- 本体论的可计数性并非不证自明： 将本体论力量理解为可计数的单元（事物的数量）并由此推导出秩序的可计数性（排列方式的数量），这一预设本身是可疑的。世界的本源或基础可能是不可数的，而秩序的可计数性（如0! = 1）可能是一种后来的、附加的构造或编码。
- 空无并非彻底的虚无，但其秩序化是一种编码： 0! = 1 表明“无”被赋予了形式，空无状态被记作一个单位化的秩序。这提示我们注意那种将空无编码、将不确定性确定化、将场域本身作为对象的逻辑操作。这与黑格尔逻辑学中从纯有到定在的运动有某种结构上的相似性，纯有虽无规定性，但一旦被把握或思为“是”，就成为一个最初的定在单位。
- 负一阶乘指向根本性缺失与实践优先： -1! 的不可定义性或无限性结果，象征着一种深刻的缺失或潜在性。它不仅指向了可排列对象的缺席，更可能指向排列场域或秩序生成条件的缺席或待定。其结果的开放性或“非法性”，有力地说明了在面对这种根本性缺失时，理论计算或既定符号系统是失效的，真正的“确定”（无论是确定其为无限还是通过创造性实践赋予其某种确定性）必须诉诸于实践、生成或多重可能性。这支持了一种实践高于理论、潜在性先于确定存在、以及生成过程优先于静态结构的哲学立场。
- 秩序的建构性与暴力性： 对1! = 1 中所隐含的本体论暴力的分析，揭示了将事物的存在性与排列方式等同起来是一种概念上的强行规定。秩序并非总是内在于事物并自然呈现的，它可能是一种建构的结果，一种将复杂性、差异性或缺失状态强制纳入单一、可数框架的暴力行为。
综上所述，零和负一的阶乘这两个看似简单的数学点，为我们提供了一个独特的视角来审视秩序、存在、缺席、可计数性以及理论与实践的关系。0! = 1 标志着空无的秩序化和本体论单位化的开端，而 -1! 则作为一种深刻的缺失，挑战了这种单位化和理论可计算性，指向了本体论基础的不可数性、实践的优先性以及潜藏在确定秩序之下的无限可能性。从哲学上把握这些数学概念，有助于我们反思既定的逻辑框架和本体论预设，并开启对更基础、更具生成性和实践性的现实图景的思考。